Unidad
curricular: Matemática y su Enseñanza del Nivel Primario
Fecha: 03/12/2018
Profesores: Paola Dellepiane y Marcela Gonzalez
Rosada
ENTRAR EN EL
JUEGO GEOMÉTRICO
Síntesis
La
siguiente propuesta didáctica tiene como propósito lograr que los alumnos de
séptimo grado (segundo ciclo) “entren en el juego matemático, es decir, que se
ocupen de producir conocimientos nuevos frente a los problemas que se le
plantean” (Ministerio de Ed., Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007),
convirtiéndose en protagonistas de su propio aprendizaje.
La
secuencia articula contenidos vinculados a los cuerpos geométricos:
introducción a la tridimensionalidad, identificación de las propiedades, conocimiento
del vocabulario específico, construcción, asociación con los planos
correspondientes, comprensión del cálculo de áreas.
Está
pensada para una duración de 180 minutos y prioriza un trabajo de construcción
de sentido a través de actividades lúdicas que fomentan la exploración, la
resolución de problemas, el análisis, el aprendizaje a partir del error y la
comunicación.
El docente juega un rol fundamental a la hora de
presentar las instrucciones y diferentes modos de trabajo, evaluar la
comprensión de los alumnos, guiar la reflexión posterior e institucionalizar
los conocimientos.
Primera parte: FUNDAMENTACIÓN
Los
conocimientos matemáticos y didácticos que se desarrollan en la secuencia están
enmarcados en el enfoque didáctico de los Diseños Curriculares vigentes en
Argentina y las investigaciones de la Didáctica de la Matemática.
La
concepción de la enseñanza implementada deriva del modelo aproximativo por el
cual el diseño y gestión de la clase “priorizan la construcción del sentido de
los conocimientos” (C. Parra, I. Saiz, 1994, p. 5). El propósito central es
introducir a los alumnos en el modo particular de pensar, de hacer y de
producir conocimiento que supone la Matemática.
De la
misma manera, se aborda la geometría desde un enfoque intuitivo y experimental.
Esto significa que se basa en la búsqueda, descubrimiento y comprensión por
parte del alumno de los conceptos y propiedades geométricos. Como una buena
enseñanza de la geometría, se orienta al desarrollo de habilidades espaciales
que son trabajadas en conjunto: visuales, de dibujo y construcción, de
comunicación, de pensamiento inductivo y deductivo, de aplicación y
transferencia (Ministerio de Cultura, Ciencia y Tecnología, Cuadernos para el
aula 7, p. 15 y 16).
La razón
es que se sostiene que solo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un
problema para resolver, es decir “cuando reconoce el nuevo conocimiento como
medio de respuesta a un conflicto y ve la necesidad de elaborar nuevas
herramientas para solucionarlo” (C. Parra, I. Saiz, 1994, p. 7). Como sostiene
Piaget, lo que da sentido a los conceptos o teorías son los problemas que ellos
o ellas permiten resolver.
Todo esto se logra a través de la inclusión
genuina del juego. Como explica Chara (2012), no solo se aprende desde el contenido
forma y explícito, sino también en función del modo en que se enseña. Ya los
conocen, pero estos tienen una intencionalidad pedagógica, son herramientas
para aprender contenidos, insertas en una secuencia de enseñanza. A
continuación del juego se genera un espacio de intercambio en el que se
plantean preguntas que llevan a reflexionar sobre el contenido particular que
se ha querido trabajar con el juego planteado. “Será en este momento, entonces,
que la propuesta del maestro podrá enriquecer la experiencia del niño, ofrecer
contenido a su imaginación, acercarle pistas para comprender el mundo. En suma,
abrir mundos diferentes a los cotidianos. Esto requiere como contraparte modos
nuevos de operar con el contenido” (Sarlé, 2016, p. 19).
Segunda
parte:
SECUENCIA
En concordancia con la teoría de Guy Brousseau,
todas las clases de la secuencia tienen diferentes situaciones didácticas:
●
Acción:
los alumnos trabajan activamente interactuando con el medio didáctico, para
lograr la resolución de problemas (a partir de los conocimientos que dispone y
de los nuevos que pueda descubrir, desplegando sus propias estrategias,
procedimientos, anticipaciones y validaciones) y así, la adquisición de
conocimientos.
●
Formulación:
se busca una comunicación entre pares para compartir, intercambiar y confrontar
las diferentes experiencias en la construcción del aprendizaje (de
procedimientos, ideas, resultados, estrategias, etc.).
●
Validación:
en la reflexión grupal se pone a juicio el producto obtenido de la interacción
(desprendiéndose de lo propio para aunar acuerdos) para poner de manifiesto la
validez o no de las propuestas.
●
Institucionalización:
se sacan conclusiones colectivamente, estableciendo relaciones entre las
producciones de los alumnos y el saber cultural para sistematizar el
conocimiento.
En cuanto a la evaluación, se sostiene que esta es parte indisociable de la
enseñanza. Por eso, no hay una instancia específica, sino que se lleva a cabo
en cada momento de la secuencia. El docente evaluará informalmente a los
alumnos durante los juegos, y podrá hacerlo formalmente registrando las
comprensiones alcanzadas que se expresen en la puesta en común y en las
producciones realizadas. Esto le permitirá identificar las intervenciones que
se necesitarán y los aspectos a fortalecer, entre otras cosas. Se tratará el
error de manera de poder aprender de él, y no como falta de conocimientos. El
intercambio, además, habilitará la retroalimentación entre pares, por lo que el
docente no será el único poseedor de contenidos, sino que será el guía para
construirlos.
ACTIVIDAD 1: Se realizará el juego “¿Quién soy?”.
El docente
explicará las consignas para que los alumnos jueguen en grupos de a 3. Un
alumno se colocará, sin mirar, una tarjeta con un cuerpo (cilindros, conos y prismas, pirámides→ con sus
diferentes bases) en la frente y a la vista del resto del grupo. Deberá hacer
preguntas (de respuesta sí o no) para adivinar cuál es la figura que le tocó.
Tendrán un cuadro (ver Anexo) con el
nombre y dibujo de todos los cuerpos como soporte, que también incluirá pistas
sobre el vocabulario específico de los cuerpos geométricos. Tendrá casilleros
en blanco de ayuda para que los alumnos anoten los datos que averiguan sobre
los cuerpos. El tercero del grupo se encargará de registrar algunas de las
preguntas que se realizan durante el juego. Luego se intercambian los roles.
Luego de
jugar, se propondrá compartir los registros para analizar las preguntas
realizadas por los alumnos, discutir sobre la conveniencia de unas u otras,
instalar nuevo vocabulario, explicitar relaciones, etc.
Podría
volverse a jugar, pero limitando la cantidad de preguntas posibles, lo cual
exige precisar las relaciones, detectando aquellas características que permitan
“englobar” o “descartar” a una buena parte de la colección de cuerpos para
avanzar en el análisis.
Por
último, se pondrán en común las reflexiones y el docente se encargará de
registrarlo para institucionalizar los conocimientos. Este trabajo colectivo
sobre el juego es una oportunidad para que todos aprendan y rescatar aquello
que debe ser retenido.
➢ El
principal objetivo de esta actividad es que los alumnos pongan en juego un
análisis y explicitación de las propiedades que descubren en los cuerpos que
van conociendo, ya que para formular las preguntas es preciso seleccionar
características comunes o diferentes de los elementos de la colección
presentada. Además, permite la incorporación de nuevo vocabulario.
ACTIVIDAD 2: Se realizará el juego “Dictado de cuerpos”.
El docente
explicará el juego para que los alumnos jueguen en equipos de a 5. Cada grupo
tendrá una tarjeta con el dibujo de un cuerpo de medidas específicas (los
cuerpos serán los mismos de la actividad anterior). Los jugadores deberán
dictarle (sin decir el nombre del cuerpo) a un participante que esté al frente
(y no haya visto la tarjeta) los pasos para construirlo con pajitas,
limpiapipas y aros de plástico (en el caso de cilindros y conos). El primer
grupo en terminarlo correctamente será el ganador.
Una vez
que se hayan construido los cuerpos, se reflexionará en conjunto sobre las dificultades
encontradas y se analizarán los errores. Luego se repetirá el juego, dando
lugar a que todos los participantes puedan construir cuerpos. El siguiente
objetivo sería construir el cuerpo con la menor cantidad de instrucciones
posibles.
➢ Esta
actividad retomará el análisis de las características de los cuerpos (con
respecto a caras, bases, vértices y aristas) con el vocabulario específico e
implicará el intercambio de información exigiendo la explicitación de las
relaciones.
También pondrá en juego la capacidad de construirlos para
comprenderlos en su tridimensionalidad.
ACTIVIDAD 3: Se realizará un “Memotest” de los cuerpos y sus planos.
La docente
explicará las consignas para que los alumnos jueguen en grupos. A continuación,
se presenta un ejemplo de un par de tarjetas:
 |
 |
(Ver más en Anexo).
Una vez
que todos los grupos hayan terminado, se pondrán en común las estrategias
utilizadas para resolver el juego con el objetivo de reflexionar sobre qué es
un desarrollo plano.
A
continuación, los alumnos recibirán de a parejas, planos de cuerpos con caras
cuadriláteras o triangulares (cubo, pirámide triangular y cuadrada, prisma
triangular y cuadrado, hexaedro, octaedro e icosaedro). Deberán buscar la
correspondiente construcción en limpiapipas (de la Actividad 2). Se les dará la
consigna de calcular la superficie de todas las caras del cuerpo (área) como
para saber “cuánto plastificado habría que comprar” para forrar los cuerpos.
Una vez
que todas hayan podido pensar, se pondrán en común las cuentas realizadas para
pensar las fórmulas de área de los cuerpos. La docente guiará una reflexión
acerca de las dificultades presentadas y las estrategias empleadas para llegar
a institucionalizar las fórmulas de área de cada cuerpo (que serán escritas en
el casillero restante de los cuadros de soporte de la Actividad 1).
➢ Esta
actividad pondrá en juego la anticipación de la constructibilidad al asociar
los cuerpos con sus planos. Además, facilitará la comprensión de la fórmula de
área (como suma de las superficies de un cuerpo).
i.
Conocimientos
mínimos de los niños necesarios para abordar la resolución de las
actividades.
Los
alumnos necesitarán conocimientos previos sobre: las características de una
figura, capacidad de construir a partir de propiedades, comprensión del cálculo
de superficie, manejo de unidades de longitud y área del SIMELA, operar con
cálculos combinados (para las fórmulas). Además, necesitarán poder reflexionar
a partir de las experiencias para presentar y confrontar sus estrategias con
las de otros, analizar los errores, aunar acuerdos para llegar a una conclusión
y establecer relaciones entre el conocimiento previo y el nuevo.
Durante la
secuencia aprenderán sobre las características, construcción, desarrollos
planos y área de cuerpos geométricos. Esto dará pie al trabajo de clasificación
de cuerpos y el concepto de volumen.
ii.
Criterios
de secuenciación considerados.
Toda la
secuencia se desarrolla mediante juegos, lo cual posibilita un acceso didáctico
a los nuevos contenidos que es motivante para los alumnos. Estos permiten poner
en juego los conocimientos previos, pero a la vez presentan desafíos. Se
reflexiona a partir de esas experiencias para construir el nuevo conocimiento.
La primera actividad retoma los conocimientos
sobre figuras, pero se complejiza el contenido ya que se empieza a hablar de
cuerpos tridimensionales. Los alumnos deben identificar las características a
partir de los dibujos, pero tienen pistas con respecto al vocabulario
específico.
La segunda actividad retoma el tema de las
características de los cuerpos (esta vez sin soporte), pero avanza al exigir la
construcción de ellos.
La tercera
actividad usa la construcción de los cuerpos para identificar un plano de ellos
(las figuras que lo componen). De esta manera se facilita la elaboración de las
fórmulas para calcular el área de los cuerpos geométricos vistos desde la
primera clase.
Esta
secuencia da pie a un futuro trabajo de clasificación de los cuerpos que se
construyeron y del concepto de volumen.
❖
Haciendo un análisis desde la teoría de Van Hiele, la secuencia
brinda un proceso de evolución en cuanto a los niveles del pensamiento geométrico.
Primero (el primer juego), permite evolucionar de
un nivel de pensamiento geométrico de reconocimiento (pensamiento visual no
verbal que juzga por las apariencias físicas) al nivel de análisis: se juzga a
partir de la identificación de las propiedades matemáticas de los objetos, para
lo cual es importante el lenguaje específico en la descripción.
En segundo
lugar (en el dictado de cuerpos), se
inicia un nivel de deducción por el cual el alumno debe razonar rigurosamente
para establecer relaciones entre las propiedades. Al principio se apoyarán en
la manipulación (construcción), pero
luego se alcanzará un mayor grado de abstracción con la validación por
deducción (desarrollos planos).
Por último, se buscará que los alumnos
construyan un conocimiento (área) e
incorporen las habilidades matemáticas para poder desarrollar demostraciones y
analizar axiomas, alcanzando así el nivel de pensamiento geométrico de rigor.
iii.
Tiempo
estimado para el desarrollo de la propuesta.
El primer juego durará 30 minutos, el segundo
40´ y el tercero 60´. Se contemplarán 7 minutos para explicar las consignas, y
otros 10 para poner en común cada actividad. Total= 180 minutos.
ANÁLISIS
DIDÁCTICO
CONTENIDO:
Se aborda, del Diseño Curricular (GCBA, Segundo ciclo, tomo 2, p. 606), los
siguientes temas:
CUERPOS:
prismas pirámides, cilindros y conos; desarrollos planos de prismas con
diferentes bases, pirámides con diferentes bases y conos; altura del prisma,
del cilindro, del cono y de la pirámide, generatriz del cono, apotema de la
pirámide; construcción de cuerpos; planos paralelos a partir de la
identificación de las caras paralelas de un prisma.
Ø El reconocimiento
de figuras y cuerpos geométricos y la producción y el análisis de
construcciones explicitando las propiedades involucradas en situaciones
problemáticas que requieran: analizar cuerpos (prismas, pirámides, cilindros,
conos y esferas) para caracterizarlos; construir cuerpos a partir de diferentes
informaciones (propiedades y medidas), explicitando los procedimientos
empleados y evaluando la adecuación de lo obtenido; analizar afirmaciones y
producir argumentos que permitan validar las propiedades.
Ø
El análisis y el uso reflexivo de distintos
procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas que
requieran: calcular áreas de figuras, y áreas de cuerpos, estimando el
resultado que se espera obtener y evaluando la pertinencia de la unidad elegida
para expresarlo.
Según se plantea en los “Cuadernos para el aula” en segundo ciclo, se retoma a partir de las
exploraciones realizadas durante el primer ciclo, respecto de los cuerpos:
● Describir y comparar cuerpos en base a las
propiedades conocidas.
● Analizar afirmaciones acerca de las
propiedades de los cuerpos y argumentar sobre su validez.
● Dictar y construir cuerpos a partir de
diferentes informaciones sobre propiedades.
● Comparar
desarrollos planos de cuerpos argumentando sobre su pertinencia.
En
conclusión, como verdadera enseñanza de la geometría, se apunta a dos
objetivos: el estudio de las propiedades de los cuerpos, y la incorporación de
un modo de pensar y de validación racional propio del saber geométrico.
FORMAS DE REPRESENTACIÓN, posibles
dificultades.
El tema
central desarrollado a lo largo de la secuencia es el de los cuerpos
geométricos. Los alumnos necesitan saber que son formas de tres dimensiones,
objetos teóricos e ideales que se presentan en un espacio conceptualizado por
lo que es necesario recurrir a representaciones. En el caso de no comprender la
tridimensionalidad de los cuerpos, los alumnos podrían confundirlos con figuras
agrupadas.
Por eso,
en esta secuencia se acude a diferentes representaciones simbólicas geométricas
(dibujos, gráficos, cuerpos materiales, desarrollos planos) y a expresiones
lingüísticas (en la comunicación oral y escrita) que brindan acceso y
demuestran la comprensión del tema. De esta manera se busca diferenciar la
noción de la representación.
Además, es
importante que se le dé lugar a la precisión en el trazado o la construcción
para facilitar la comprensión, pero jamás debe tener más valor que, por
ejemplo, el establecimiento de las relaciones entre elementos. Lo mismo ocurre
con la memorización: lo importante es poder elaborar estrategias para la
resolución de un problema, por lo que el aprendizaje debe estar basado en la
actividad intelectual del alumno para comprender los saberes.
También,
es necesario recordar que el juego no es el objeto de enseñanza, ni pueden ser
presentados de forma aislada. El aprendizaje se da con la reflexión que se
genera a partir de la actividad exploratoria.
El alumno
debe ser capaz de involucrarse para ser protagonista de su aprendizaje y debe
poseer una capacidad de abstracción y razonamiento deductivo que le permita
demostrar la validez de sus conjeturas, de una técnica empleada, de la
formulación de argumentación basada en propiedades, etc.
Bibliografía
✓ Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de
Buenos Aires. (2008). Diseño curricular para la educación primaria La Plata:
DGCE
✓ CABA (2000). Diseño Curricular para Educación Primaria. 1°
y 2° ciclo
✓ Ministerio de Cultura y Educación de la Nación, (2005).
Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (NAP). Nivel Primario.
✓ Ministerio de Cultura, Ciencia y Tecnología. Cuadernos para
el aula del Nivel Primario: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. (2007).
✓ Chara,
(2012). El caso de la enseñanza de la matemática. “Jugar para, la escuela y la
enseñanza de saberes socialmente válidos.”
✓ Sarlé,
(2016). Enseñar a jugar, la inclusión genuina del juego.
✓ Van Hiele, P. (1999). Desarrollando el pensamiento
geométrico a través de actividades que comienzan como un juego.
✓ C.
Parra e I. Saiz, (1994). Didáctica de las
Matemáticas. Aportes y Reflexiones. Bs. As.: Ed. Paidós.
✓ Charnay, R. (1994). Aprender por medio de la resolución de
problemas. En Parra, C. y Saiz, I. (Comp.). Didáctica de las Matemáticas.
Aportes y Reflexiones. Bs. As. Ed. Paidós
✓ Dellepiane, P. y Gonzalez Rosada, M. (2018). Powerpoint de
la cátedra. Clases 1, 7, 8 y 10. UCA, Buenos Aires.
ANEXO
*Un cuadro posible sobre los cuerpos geométricos podría
ser:
   |
*Otros
desarrollos planos para la Actividad 3 podrían ser:
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